CONTENIDOS DE LA UNIDAD VI

Propiedades de la multiplicación y división.

¿Qué es la multiplicación?

La multiplicación es una operación binaria que se establece en un conjunto numérico. ​Tal el caso de números naturales, consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). Es una operación diferente de la adición, pero equivalente. No es igual a una suma reiterada; sólo son equivalentes porque permiten alcanzar el mismo resultado. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

Propiedades de la multiplicación

Para los números naturales, enteros, fracciones y números reales y complejos, la multiplicación tiene ciertas propiedades:

•          Propiedad de cerradura

La multiplicación de dos o más números naturales nos da como resultado otro número natural ejemplo: 33*2=66

•          Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

x . y = y . x

•         {\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}Propiedad asociativa

Únicamente expresiones de multiplicación o adición son invariantes con respecto al orden de las operaciones.

(x . y) . z  = x . (y . z)

•          Propiedad distributiva

El total de la suma de dos números multiplicado por un tercer número es igual a la suma de los productos entre el tercer número y cada sumando.

x . (y + z) = (x . y) + (x . z){\displaystyle x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)}

•          Elemento identidad (neutro)

La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo número multiplicado por 1 es sí mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad.

x . 1 = x

•          Elemento cero (absorbente)

Cualquier número multiplicado por cero da como producto cero. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicación.

x . 0 = 0

0 . x = 0

•          {\displaystyle x\cdot 0=0}{\displaystyle 0\cdot x=0}Negación

Menos uno multiplicado por cualquier número es igual al opuesto de ese número. 

(-1) . x = (-x)

{\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}Menos uno multiplicado por menos uno es uno.

(-1) . (-1) = 1

{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}El producto de números naturales no incluye números negativos.

•          Elemento inverso

Todo número x, excepto cero, tiene un inverso multiplicativo, 1/x {\displaystyle {\frac {1}{x}}}, tal que x . (1/x) = 1{\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}.

¿Qué es la división?

La división es una operación parcialmente definida en el conjunto de los números naturales y los números enteros; en cambio, en el caso de los números racionales, reales y complejos es siempre posible efectuar la división, exigiendo que el divisor sea distinto de cero, sea cual fuera la naturaleza de los números por dividir. En el caso de que sea posible efectuar la división, esta consiste en indagar cuántas veces un número (divisor) está "contenido" en otro número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. De manera general puede decirse que la división es la operación inversa de la multiplicación, siempre y cuando se realice en un campo.

Propiedades de la multiplicación

•          Propiedad no conmutativa de la división

Para explicar esta propiedad matemática de la división, será necesario recordar que la Propiedad conmutativa es vista como una ley matemática que indica que en una operación los factores involucrados pueden variar su orden sin que esto afecte el resultado final, es decir, que “el orden de los factores no altera el producto”.

Empero, en la división esta propiedad tiene lugar de manera negativa, o lo que es igual, se presenta como una Propiedad no conmutativa, ya que si llega a haber un cambio en el orden de los factores o números involucrados en la división, el resultado de la operación será distinto en ambos casos. Un ejemplo de ello puede ser el siguiente:

10 : 5 = 2 mientras que 5 : 10= 0,5

Por ende, en la división, el orden de los factores sí altera el producto.

•          Propiedad no asociativa de la división

Igualmente, en algunos casos, las Matemáticas señalan que una vez se establezca una operación entre tres o más factores, estos podrán establecer diferentes agrupaciones o asociaciones sin que esto influya en alguna alteración del resultado. Empero esta es otra de las propiedades matemáticas que se da en forma negativa en la división, puesto que una vez suceda una división entre tres o más elementos, las distintas asociaciones que se produzcan entre ellos originarán resultados diferentes.

Un ejemplo de la Propiedad no asociativa en la división podrá ser el siguiente:

Operación →    1000 :  4 :  5 : 2 =
Primera asociación →  (1000 : 4) : 5 : 2 =  250 : 5 : 2 =  50 : 2 = 25
Segunda asociación → 1000 : (4 : 5) : 2 = 1000 : 0,8 : 2 =  1250 : 2 = 625
Tercera asociación → 1000 : 4 : (5 : 2) =   1000 : 4 : 2,5 = 250 : 2,5 =  100

De esta forma se concluye que cada vez que se plantee una nueva asociación entre los factores de una división se obtendrán resultados distintos, por lo que las Matemáticas señalan que esta operación cumple con la Propiedad no asociativa de la división.

•          Propiedad respecto a los ceros dentro de la división

Así también, las Matemáticas señalarán algunas propiedades matemáticas que cumplirá la división respecto a cómo la intervención del cero (0) dentro de la operación afectará de una manera determinada los resultados, al igual que a la misma división. De esta manera la primera propiedad que indicarán las Matemáticas será aquella que indique que todo vez que el cero será divido entre un número, independientemente del número que sea, el resultado será cero.

En segundo lugar, esta disciplina contemplará también el caso contrario, es decir, cuando el cero (0) ejerce las veces de Divisor, situación que simplemente se considera imposible, puesto que no tiene sentido ni resolución.

•          Propiedad distributiva de la división

Otra de las Propiedades matemáticas de la división será la Propiedad distributiva, la cual indica que toda vez que en base a una operación se descomponga el Dividendo, y sea posteriormente dividido entre el divisor, y finalmente sumados cada uno de los totales, se obtendrá un resultado igual. Sin embargo, puede que la mejor forma de entender esta operación sea a través de un ejemplo, como el que se muestra a continuación:

1000 :  4 =  250

Si se aplica la Propiedad distributiva se tendrá entonces lo siguiente:

1000 : 2 = 500 →  500 : 4 + 500 : 4=  125 + 125 = 250

•          Propiedad no interna de la división

Finalmente, en cuanto a la Propiedad no interna de la división será necesario recordar en primer lugar el propio concepto de Números naturales, los cuales son vistos como aquellos números con los cuales se pueden contar los elementos de un conjunto, caracterizándose además por ser enteros, positivos y desplegarse en la Recta numérica, de forma ordenada y sucesiva, desde el cero y hasta el infinito.

En este sentido, las Matemáticas señalarán a la división como una operación no interna de los Números naturales, puesto que no todas las veces en que se realice una división el resultado arrojará un número entero o positivo. En consecuencia, las Matemáticas optan por indicar que la División cumple con la Propiedad no interna en cuanto a los Números naturales.

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